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Lerneinheit · Klasse 7/8 · Geometrie

Wie lang ist eine Küste?

„Dieselbe Insel, zwei verschieden weite Zirkel — kommt zweimal dasselbe heraus?"

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Thema im Lehrplan
Maßstab und Messgenauigkeit; Umfang und Näherung durch Vielecke; Selbstähnlichkeit. Anschluss an Wachstumsfaktoren und Potenzen (Klasse 7/8).
Fach
Geometrie
Klassenstufe
Klasse 7/8
Dauer
ca. 55 min (2 Schulstunden) · 8 Missionen und 5 Übertragsaufgaben

Ablauf

  1. Die Küste abschreiten — Miss dieselbe Insel mit drei verschieden weiten Zirkeln und sieh nach, ob dreimal dasselbe herauskommt. 4 Missionen: Der große Zirkel · Der halbe Zirkel · Noch einmal halbieren · Die Gegenprobe
  2. Die Schneeflocke — Dieselbe Regel, immer kleiner: Bau den Rand Schritt für Schritt und rechne nach, wie weit er wächst. 4 Missionen: Aus einer Kante werden vier · Wie lang ist der Rand? · Wächst sie über den Rand hinaus? · Zehn Schritte
  3. Übertrag — 5 Aufgaben zu einer neuen Situation, ohne Simulation. Die eigenen Messreihen stehen daneben.

Der Denkfehler, an dem die Einheit ansetzt

„Eine Küste hat eine bestimmte Länge — man muss nur genau genug messen." Genauer messen liefert hier aber keinen genaueren Wert, sondern einen größeren: Der kürzere Zirkel kommt in Buchten hinein, die der längere übersprungen hat, und findet darin wieder kleinere. Verbreitet ist auch die Erwartung, die halbe Zirkelweite ergebe die halbe Länge.

Das sollen die Lernenden am Ende sagen können

Wie lang eine Küste ist, hängt davon ab, womit man sie misst: mit dem 100-km-Zirkel 705 km, mit dem 25-km-Zirkel 916 km — jede Halbierung der Zirkelweite bringt rund 15 % mehr, und ein Ende ist nicht in Sicht. Das liegt nicht am ungenauen Messen: Am kreisrunden Atoll laufen dieselben Messungen auf 691 km zu. Der Unterschied steckt in der Linie selbst — in jeder Bucht stecken kleinere Buchten. Die Schneeflocke zeigt das zum Nachrechnen: Ihr Rand wird bei jedem Schritt 4/3 mal so lang und hört nie auf, ihre Fläche bleibt im Umkreis des Starterdreiecks. Eine Längenangabe ohne den Maßstab ist deshalb keine vollständige Auskunft.

Tipp für den Unterricht

Das Herzstück ist die Gegenprobe am kreisrunden Atoll (Mission 4 des ersten Labors): Dort laufen dieselben Messungen auf einen festen Wert zu. Erst sie macht aus dem Befund eine Aussage über die Linie statt über das Messgerät — ohne sie bleibt der Eindruck, das Labor habe schlecht gemessen. Die Insel ist gerechnet und auf jedem Gerät dieselbe, die Messwerte lassen sich also zwischen Gruppen vergleichen. Anschluss: Farnwedel, Flussläufe, Blutgefäße — und zwei Atlanten mit verschiedenen Küstenlängen.

So arbeiten die Lernenden

Vor jedem Versuch legen sie sich fest, was herauskommt — der Versuchsaufbau bleibt gesperrt, bis sie das getan haben. Dann zeigt der Versuch, ob die Vorhersage stimmte, und jedes Ergebnis landet in einer Messreihe. Die Regel wird nicht vorgesagt, sie ergibt sich aus den eigenen Messwerten. Sterne bewerten die Vorhersage, nicht den Fleiß.

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Beim Drucken kommt auf der zweiten Seite der Übertrag als Arbeitsblatt — für Klassen, die an der Tafel arbeiten. Die Lösungen stehen in der Handreichung.

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Übertrag: Wie lang ist eine Küste?

Name: ______________________________ Klasse: __________ Datum: __________

Jetzt ohne Zirkel und ohne Flocke — nur mit dem, was in deinen Messreihen steht. Schreibe deine Antwort auf und begründe sie mit dem, was du gemessen hast.

  1. Eine Küste misst mit dem 40-km-Zirkel 800 km. Wie du gemessen hast, bringt jede Halbierung der Zirkelweite rund 15 % mehr. Was misst der 20-km-Zirkel ungefähr?
  2. In zwei Atlanten steht für dieselbe Insel eine andere Küstenlänge: 1 200 km und 1 900 km. Was ist die wahrscheinlichste Erklärung?
    • a) Einer der beiden hat sich verrechnet
    • b) Sie haben mit verschieden feinen Maßstäben gemessen
    • c) Die Küste hat sich zwischen den beiden Ausgaben verändert
  3. Eine Zackenlinie ist 81 cm lang. Bei jedem Schritt wird sie 4/3 mal so lang. Wie lang ist sie nach 2 Schritten?
  4. Ein schnurgerader Zaun ist 2 km lang. Er wird einmal mit einem 10-m-Band abgemessen und einmal mit einem 1-m-Stab. Was kommt heraus?
    • a) Mit dem 1-m-Stab deutlich mehr
    • b) Beide Male rund 2 km
    • c) Mit dem 1-m-Stab weniger
  5. Wie sollte die Länge einer Küste in einem Atlas angegeben werden, damit die Angabe etwas taugt?
    • a) Als die größte Zahl, die je gemessen wurde
    • b) Als Mittelwert aller Messungen
    • c) Zusammen mit dem Maßstab, mit dem gemessen wurde

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