Lerneinheit · Klasse 9/10 · Mathematik, Geometrie
Wie hoch ist der Turm?
„Doppelt so steil nach oben geschaut — doppelt so hoch? Und wie misst man einen Turm, ohne hinaufzusteigen?"
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- Thema im Lehrplan
- Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck: Seitenverhältnisse hängen nur vom Winkel ab; Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse; Sinus, Kosinus und Tangens als Namen für gemessene Verhältnisse; Höhenbestimmung aus Abstand und Winkel.
- Fach
- Mathematik, Geometrie
- Klassenstufe
- Klasse 9/10
- Dauer
- ca. 60 min (2 Schulstunden) · 8 Missionen und 6 Übertragsaufgaben
Ablauf
- Die Leiter — Eine Leiter an der Wand, ein Winkel, drei Seiten: Miss nach, welches Verhältnis sich nie ändert — und was geschieht, wenn du vom anderen Winkel aus schaust. 4 Missionen: Eine längere Leiter · Doppelt so steil · Der andere Winkel · Zwei Winkel, dieselben Zahlen
- Der Turm — Doppelt so steil gepeilt — doppelt so hoch? Miss nach und vermiss am Ende einen Turm, ohne hinaufzusteigen. 4 Missionen: Flach angepeilt · Doppelt so steil · Fast senkrecht nach oben · Ein fremder Turm
- Übertrag — 6 Aufgaben zu einer neuen Situation, ohne Simulation. Die eigenen Messreihen stehen daneben.
Der Denkfehler, an dem die Einheit ansetzt
„Doppelter Winkel, doppelte Höhe" — das lineare Denken, das bei kleinen Winkeln fast stimmt und deshalb hält. Dazu die Verwechslung von An- und Gegenkathete: „Gegenkathete ist die senkrechte Seite." Mission 3 des ersten Labors betrachtet dasselbe Dreieck vom zweiten Winkel aus.
Das sollen die Lernenden am Ende sagen können
Zu jedem Winkel gehört ein festes Seitenverhältnis, egal wie groß das Dreieck ist: Drei Leitern von 2, 4 und 6 m ergaben bei 60° jedes Mal 0,87 für „Höhe ÷ Leiter". Welche Seite Gegenkathete ist, hängt vom Winkel ab, von dem aus man schaut — vom zweiten Winkel aus tauschen die Katheten ihre Rollen. Gegenkathete ÷ Hypotenuse heißt Sinus, Ankathete ÷ Hypotenuse Kosinus, Gegenkathete ÷ Ankathete Tangens. Keines dieser Verhältnisse wächst im Gleichschritt mit dem Winkel: Die Leiter reichte bei 30° 2,50 m hoch und bei 60° 4,33 m; der Turm in 50 m Abstand war bei 30° 28,9 m hoch und bei 60° 86,6 m, das Dreifache. Bei 45° ist er so hoch wie entfernt, nahe 90° wächst die Höhe über jede Grenze. Weil der Tangens nur vom Winkel abhängt, genügen Abstand und Winkel für eine Höhe: 35° und 40 m ergaben 0,70 · 40 m = 28,0 m.
Tipp für den Unterricht
Die Einheit führt die Begriffe ein: Bis zur dritten Mission heißen die Seiten „gegenüber" und „anliegend", die Namen Sinus, Kosinus und Tangens fallen erst, wenn die Verhältnisse gemessen sind. Der Winkelmesser liegt im Labor auf dem Boden; bei einer echten Messung auf dem Schulhof kommt die Augenhöhe dazu. Ein Geodreieck mit Faden und Gewicht genügt als Höhenwinkelmesser.
So arbeiten die Lernenden
Vor jedem Versuch legen sie sich fest, was herauskommt — der Versuchsaufbau bleibt gesperrt, bis sie das getan haben. Dann zeigt der Versuch, ob die Vorhersage stimmte, und jedes Ergebnis landet in einer Messreihe. Die Regel wird nicht vorgesagt, sie ergibt sich aus den eigenen Messwerten. Sterne bewerten die Vorhersage, nicht den Fleiß.
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Beim Drucken kommt auf der zweiten Seite der Übertrag als Arbeitsblatt — für Klassen, die an der Tafel arbeiten. Die Lösungen stehen in der Handreichung.
denk.schule/einheit/wie-hoch-ist-der-turm/ · Inhalte: denk.schule, CC BY-SA 4.0
Übertrag: Wie hoch ist der Turm?
Name: ______________________________ Klasse: __________ Datum: __________
Jetzt ohne Leiter und Turm — nur mit dem, was deine beiden Messreihen zeigen. Schreibe deine Antwort auf und begründe sie mit dem, was du gemessen hast.
- Eine 10 m lange Rampe steigt unter 30° an. In deiner Messreihe ergab „gegenüber ÷ Leiter" bei 30° den Wert 0,50. Wie viele Meter Höhe überwindet die Rampe?
-
Im Dreieck ABC liegt der rechte Winkel bei C. Welche Seite ist die Gegenkathete des Winkels bei A?
- a) Die Seite AB
- b) Die Seite BC
- c) Die Seite AC
- Du stehst 20 m von einem Baum entfernt und peilst seine Spitze unter 45° an (vom Boden aus). Wie hoch ist der Baum?
-
Aus 20 m Abstand erscheint ein Mast unter 20°; er ist 7,3 m hoch. Ein zweiter Mast erscheint vom selben Punkt unter 40°. Wie hoch ist er?
- a) Mehr als 14,6 m
- b) 14,6 m — genau das Doppelte
- c) Weniger als 14,6 m
- sin 25° = 0,42. Für welchen Winkel ist der Kosinus ebenfalls 0,42?
-
Du kennst den Abstand zu einem Gebäude und den Winkel, unter dem du das Dach siehst. Gesucht ist die Höhe. Welches Verhältnis brauchst du?
- a) Den Sinus: Gegenkathete ÷ Hypotenuse
- b) Den Tangens: Gegenkathete ÷ Ankathete
- c) Den Kosinus: Ankathete ÷ Hypotenuse