Lerneinheit · Klasse 7/8 · Mathematik
Zufall hat kein Gedächtnis
„Nach fünfmal Kopf — ist jetzt Zahl dran? Und warum landen im Galtonbrett die meisten Kugeln in der Mitte?"
Der Knopf öffnet die Einheit direkt im Experimentierheft, ein Klick auf einen Labornamen das Labor. Es läuft im Browser — kostenlos, ohne Anmeldung, ohne Installation.
- Thema im Lehrplan
- Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit: Zufallsexperimente, empirisches Gesetz der großen Zahlen, Unabhängigkeit von Würfen, Laplace-Wahrscheinlichkeit, mehrstufige Zufallsexperimente und Pfade zählen (Galtonbrett als Baumdiagramm).
- Fach
- Mathematik
- Klassenstufe
- Klasse 7/8
- Dauer
- ca. 50 min (2 Schulstunden) · 7 Missionen und 5 Übertragsaufgaben
Ablauf
- Die Münze — Nach fünfmal Kopf — ist jetzt Zahl dran? Der Rechner wirft 10 000-mal und zählt nach. 4 Missionen: Dreißig Kinder, zehn Würfe · Zehntausend Würfe · Nach fünfmal Kopf · Ordentlich oder gemischt?
- Das Galtonbrett — 400 Kugeln, vier Reihen Nägel: Warum landen die meisten in der Mitte? Zähle die Wege. 3 Missionen: 400 Kugeln · Der Wege-Zähler · Noch einmal 400
- Übertrag — 5 Aufgaben zu einer neuen Situation, ohne Simulation. Die eigenen Messreihen stehen daneben.
Der Denkfehler, an dem die Einheit ansetzt
Der Spielerfehlschluss („nach fünfmal Kopf ist Zahl dran"); die Erwartung, eine faire Münze teile auch bei wenigen Würfen gerecht auf; eine „ordentlich" aussehende Folge wie K K K K K K sei seltener als eine gemischte; beim Galtonbrett die Gleichverteilung („jeder Nagel ist fair, also bekommt jedes Fach gleich viel"). Jede Mission stellt einen davon zur Wahl.
Das sollen die Lernenden am Ende sagen können
Eine Münze hat kein Gedächtnis: Nach fünfmal Kopf ist der nächste Wurf wieder halb und halb, und jede einzelne Folge aus sechs Würfen ist gleich wahrscheinlich. Bei wenigen Würfen streut das Ergebnis stark; je öfter man wirft, desto näher kommt der Anteil an die Wahrscheinlichkeit — das Gesetz der großen Zahlen. Wie oft ein Ergebnis kommt, hängt davon ab, wie viele Wege dorthin führen: Im Galtonbrett mit vier Reihen führen 1, 4, 6, 4 und 1 von 16 Wegen in die fünf Fächer. Wahrscheinlichkeit = Wege zum Ergebnis geteilt durch alle Wege.
Tipp für den Unterricht
Die Münzen wirft der Rechner mit Zufallszahlen, jeder Durchgang fällt anders aus. Die Vorhersagen sind so gewählt, dass der Versuch sie trotzdem eindeutig entscheidet. Das lässt sich nutzen: Die Ergebnisse mehrerer Gruppen an der Tafel sammeln — die Anzahlen streuen, die Anteile kaum. Der Wege-Zähler ist ein Baumdiagramm in anderer Gestalt; die Zahlen 1, 4, 6, 4, 1 führen, wenn gewünscht, zum Pascalschen Dreieck.
So arbeiten die Lernenden
Vor jedem Versuch legen sie sich fest, was herauskommt — der Versuchsaufbau bleibt gesperrt, bis sie das getan haben. Dann zeigt der Versuch, ob die Vorhersage stimmte, und jedes Ergebnis landet in einer Messreihe. Die Regel wird nicht vorgesagt, sie ergibt sich aus den eigenen Messwerten. Sterne bewerten die Vorhersage, nicht den Fleiß.
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Beim Drucken kommt auf der zweiten Seite der Übertrag als Arbeitsblatt — für Klassen, die an der Tafel arbeiten. Die Lösungen stehen in der Handreichung.
denk.schule/einheit/zufall-hat-kein-gedaechtnis/ · Inhalte: denk.schule, CC BY-SA 4.0
Übertrag: Zufall hat kein Gedächtnis
Name: ______________________________ Klasse: __________ Datum: __________
Jetzt ohne Münzen und ohne Galtonbrett — nur mit deinen beiden Messreihen. Schreibe deine Antwort auf und begründe sie mit dem, was du gemessen hast.
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Ein Würfel hat viermal hintereinander keine 6 gezeigt. Wie groß ist die Chance auf eine 6 beim nächsten Wurf?
- a) Größer als 1/6 — die 6 ist überfällig
- b) Genau 1/6, wie bei jedem Wurf
- c) Kleiner als 1/6 — der Würfel mag die 6 gerade nicht
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Beim Lotto werden 6 aus 49 Zahlen gezogen. Welcher Tipp hat die größere Chance: 1 2 3 4 5 6 oder 3 17 22 31 40 45?
- a) 3 17 22 31 40 45 — der sieht zufälliger aus
- b) 1 2 3 4 5 6
- c) Beide haben genau dieselbe Chance
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Eine Münze wird 1000-mal geworfen. Was ist am wahrscheinlichsten?
- a) Genau 500-mal Kopf
- b) Irgendwo zwischen 470- und 530-mal Kopf
- c) Weniger als 400- oder mehr als 600-mal Kopf
- Durch ein Galtonbrett mit vier Reihen fallen 800 Kugeln. Mit wie vielen Kugeln rechnest du im mittleren Fach?
- Ein Galtonbrett hat fünf Reihen Nägel statt vier. Wie viele verschiedene Wege gibt es insgesamt?