Lerneinheit · Klasse 9/10 · Informatik, Mathematik
Das Geheimnis der Primzahlen
„Malnehmen dauert einen Augenblick — warum dauert der Weg zurück so lange? Und was hat das mit Geheimnissen zu tun?"
Der Knopf öffnet die Einheit direkt im Experimentierheft, ein Klick auf einen Labornamen das Labor. Es läuft im Browser — kostenlos, ohne Anmeldung, ohne Installation.
- Thema im Lehrplan
- Primfaktorzerlegung und Rechenaufwand; Rechnen mit Resten (Modulo); Einwegfunktionen und der Austausch eines Schlüssels über einen offenen Kanal (Informatik/Mathematik 9/10).
- Fach
- Informatik, Mathematik
- Klassenstufe
- Klasse 9/10
- Dauer
- ca. 55 min (2 Schulstunden) · 8 Missionen und 5 Übertragsaufgaben
Ablauf
- Hin und zurück — Zwei Primzahlen malnehmen dauert einen Schritt. Miss nach, wie viele der Weg zurück braucht. 4 Missionen: Hin in einem Schritt · Zwei Stellen mehr · Die Regel · Zehn und zwölf Stellen
- Der gemeinsame Schlüssel — Anna und Ben verabreden ein Geheimnis, obwohl alle mithören — zähl mit, wer wie viel rechnen muss. 4 Missionen: Zwei Geheimzahlen, eine gemeinsame · Der Lauscher · Eine größere Uhr · Und was rechnet Anna?
- Übertrag — 5 Aufgaben zu einer neuen Situation, ohne Simulation. Die eigenen Messreihen stehen daneben.
Der Denkfehler, an dem die Einheit ansetzt
„Verschlüsseln heißt, Buchstaben zu ersetzen." Damit bleibt unerklärlich, wie zwei Fremde ohne vorher vereinbartes Geheimnis vertraulich sprechen können. Dazu die lineare Erwartung beim Aufwand: doppelt so viele Stellen, doppelt so lange — es ist zehnmal so viel je zwei Stellen.
Das sollen die Lernenden am Ende sagen können
Zwei Primzahlen malzunehmen ist ein Schritt, egal wie lang sie sind. Der Weg zurück — das Produkt wieder zerlegen — kostet bei 4 Stellen 27 Divisionen, bei 12 Stellen schon 249 990: Zwei Stellen mehr bedeuten zehnmal so viel Arbeit, weil die Zahl der Schritte an der Wurzel hängt. Eine Rechnung, die vorwärts leicht und rückwärts schwer ist, heißt Einwegfunktion. Darauf beruht, dass zwei Fremde ein Geheimnis verabreden können, während alle mithören: Auf einer Uhr mit 1 000 003 Zahlen braucht Anna 33 Multiplikationen, der Lauscher 654 321 Versuche. Ein Schlüssel darf deshalb öffentlich sein — er nützt nur dem, der den kurzen Weg kennt.
Tipp für den Unterricht
Beide Labore messen dasselbe von zwei Seiten: Der Hinweg bleibt ein Schritt, der Rückweg wächst mit der Größe der Zahl davon. Gerechnet wird an kleinen Zahlen, mit dem einfachsten Verfahren und ohne Angriffswerkzeuge — es gibt schnellere Verfahren, und das steht auch so im Labor. Der Schlüsseltausch im zweiten Labor ist der von Diffie und Hellman (1976) in Schulzahlen; RSA lässt sich im Gespräch anschließen, gehört aber nicht mehr in die Einheit.
So arbeiten die Lernenden
Vor jedem Versuch legen sie sich fest, was herauskommt — der Versuchsaufbau bleibt gesperrt, bis sie das getan haben. Dann zeigt der Versuch, ob die Vorhersage stimmte, und jedes Ergebnis landet in einer Messreihe. Die Regel wird nicht vorgesagt, sie ergibt sich aus den eigenen Messwerten. Sterne bewerten die Vorhersage, nicht den Fleiß.
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Beim Drucken kommt auf der zweiten Seite der Übertrag als Arbeitsblatt — für Klassen, die an der Tafel arbeiten. Die Lösungen stehen in der Handreichung.
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Übertrag: Das Geheimnis der Primzahlen
Name: ______________________________ Klasse: __________ Datum: __________
Jetzt ohne Rechner — nur mit der Regel aus deinen beiden Messreihen. Schreibe deine Antwort auf und begründe sie mit dem, was du gemessen hast.
- Für eine 8-stellige Zahl braucht die Probedivision rund 2 500 Schritte. Wie viele braucht sie für eine 10-stellige?
- Bei 12 Stellen sind es rund 250 000 Schritte. Wie viele wären es bei 14 Stellen?
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Warum muss die Probedivision nur bis zur Wurzel der Zahl suchen?
- a) Weil größere Teiler keine Primzahlen sein können
- b) Weil von zwei Faktoren immer einer höchstens so groß wie die Wurzel ist
- c) Weil der Rechner sonst zu lange braucht
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Was ist eine Einwegfunktion?
- a) Eine Rechnung, die sich nicht umkehren lässt
- b) Eine Rechnung, die vorwärts leicht ist und rückwärts sehr viel mehr Arbeit macht
- c) Eine Rechnung, die nur ein Rechner ausführen kann
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Warum darf ein öffentlicher Schlüssel im Netz stehen, ohne dass die Verschlüsselung dadurch wertlos wird?
- a) Weil er verschlüsselt gespeichert wird
- b) Weil nur wenige Menschen ihn finden
- c) Weil aus ihm den geheimen zu berechnen den langen Weg bedeutet